Si on note \(\mathcal D_n\) la tribu engendrée par les v.a. Précédant \(X_n\), alors elle est indépendante avec \({\mathcal B}_{n+1}\) via un regroupement par paquets.

Par décroissance, \(\mathcal D_n\) est également indépendante de \({\mathcal B}_\infty\).

C'est vrai pour tout rang \(n\), donc également pour la tribu engendrée par l'union des \(\mathcal D_n\).

\({\mathcal B}_0\) et \({\mathcal B}_\infty\) sont donc indépendantes.

On conclut en disant que \({\mathcal B}_\infty\subset{\mathcal B}_0\), et donc qu'elle est indépendante d'elle-même.

On peut virer les premiers termes, ce qui fait que \(Z\) est \({\mathcal B}_k\)-mesurable.

C'est vrai \(\forall k\), donc \(Z\) est \({\mathcal B}_\infty\)-mesurable \(\to\) par la Loi du tout ou rien de Kolmogorov, elle est donc \({\Bbb P}\)-grossière, et donc constante ps.

\(\{\sup_n S_n=+\infty\}\in{\mathcal B}_k\) pour tout cas, donc \(\in{\mathcal B}_\infty\).

On montre via le Lemme de Borel-Cantelli que le \(\sup\) et l'\(\inf\) de \(S_n\) ne sont pas bornés, en disant qu'une suite de \(j\) gains/pertes arrivent une infinité de fois, pour tout \(j\).

On peut passer à l'union sur \(p\), ce qui nous dit que la proba que \({\Bbb P}(\inf_nS_n=-\infty)+{\Bbb P}(\sup_nS_n=+\infty)=1\)

Par symétrie, les deux probas sont égales, et sont \(\geqslant\frac12\) (car au moins l'une d'entre elles l'est) \(\to\) on conclut via la Loi du tout ou rien de Kolmogorov.